|
Home
Wladimir Celler
Как изучать математику
Иногда приходится слышать, что некоторые люди имеют или имели в своё время сложности с математикой. Причина этого факта лежит на поверхности - математика - дисциплина чисто логическая, а мышление у разных людей бывает не только логическое, но и образное. Многое, конечно, как всегда зависит от преподавателя, поскольку обучение логическим дисциплинам эффективно лишь тогда, когда последовательно поняты все темы. Поэтому даже у человека с логическим мышлением, если он не успел понять какую-то тему, может пропасть дальнейший интерес к этой науке. Человеку с образным мышлением ещё сложнее, поскольку математика в чистом виде - наука абстрактная и, соответственно, у такого человека не возникает никаких ассоциаций, привязывающих её к реальному миру. Начинается, собственно, всё хорошо - счётные палочки, наглядные картинки... Но очень скоро связь с реальным миром может потеряться, поскольку изначально не была понята суть математики и её роль как науки.
В моём понимании, на каком-то этапе изучения математики, необходимо уяснить следующее. Мы живём в трёхмерном пространстве и настолько к нему привязаны, что можем хорошо представить всё, что реально может в нём существовать как макрообъект, но нам трудно представить, например, состояние отсутствия пространства. Живя в этом пространстве, человек, благодаря своему разуму, может выделять отдельные характеристики (свойства) данного мира и обнаруживать наличие закономерных зависимостей между отдельными из этих свойств. С целью моделирования этих реально существующих закономерностей и существует математика.
Ещё на этапе изучения операций сложения и вычитания, используя счётные палочки, следует понять, что палочки можно выстраивать в одну линию, что означает операцию сложение-вычитание в одномерном пространстве, т.е. всего вдоль одной линии; можно прикладывать палочки вплотную друг к другу боковыми сторонами, тем самым производя арифметические операции в двухмерном пространстве, т.е. на плоскости; и, наконец, можно раскладывать палочки произвольно в объёмном трёхмерном пространстве.
И уже на примере этих самых элементарных операций следует понять необходимость введения рамок применения математических методов к реальному миру. С точки зрения математики на месте палочек может быть всё что угодно. С точки зрения реального мира нельзя сложить одну палочку, один кубик и одну атмосферу земли. Это означает, что математически можно построить какую угодно модель, но к реальности она не будет иметь никакого отношения. Поэтому исходным моментом любого моделирования всегда является подлежащий моделированию процесс, а не какая-либо математическая теория.
Человек с образным мышлением может столкнуться с проблемами уже даже при изучении умножения-деления. С точки зрения реального мира операция умножения означает переход в следующее измерение. Т.е. если мы имеем две одномерные величины, выражающие, например, расстояние, то при их перемножении, мы получим площадь, а значит плоскость, а следовательно следующее двухмерное измерение. Если же мы хотим остаться в пределах одного измерения, например посчитать длину, состоящую из нескольких равных отрезков, то с точки зрения реального мира операция умножения вообще нецелесообразна, поскольку реально должно быть применено многократное сложение. С точки же зрения математики операции умножение-деление абстрактны и могут быть применены к чему угодно. Если два человека принесли по три яблока, то мы можем перемножить 2х3 или 3х2 и получим в любом случае 6 не важно чего. В реальном мире нам не помогает перестановка 2х3 или 3х2 - мы всегда получаем почему-то 6 штук яблок, а не 6 "штук" человек. Это опять же показывает, как легко математика может уйти в несуществующий мир.
Поэтому, чтобы сохранить привязку математики к реальному миру, следует её "осмыслить". В данном случае "осмысливание" означает приведение в соответствие каждой математической операции, с целью их лучшего понимания, определённого свойства реального мира.
Можно разделить математику на три условных области.
Первую область можно назвать линейной (одномерной) математикой. Она ограничивается всего лишь операциями сложения и вычитания положительных и отрицательных чисел. Положительные числа всегда соответствуют в одномерном пространстве избытку чего-то, а отрицательные - недостатку. Нуль соответствует вообще отсутствию этого самого чего-то, т.е. отсутствию самого пространства. Саму операцию сложения можно уподобить "добавлению", но поскольку мы используем какую-то систему единиц измерения и складываются всегда только объекты одной размерности, то лучше уподобить эту операцию "встрече" с каким-то количеством таких же объектов. Тогда операцию вычитания можно уподобить "расставанию".
Вторую область математики можно назвать плоской (двухмерной) математикой. Она охватывает операции умножения, деления, возведения в квадрат, извлечение корня и тригонометрические операции.
Как уже было сказано, операция умножения означает переход в пространство следующей размерности. Если одна из величин безразмерная, то операция умножения превращается в многократное применение операции сложения не переходя в следующее измерение.
Операцию возведения в квадрат, как простейший случай операции умножения, можно тогда уподобить "коллективной встрече" в квадратной области плоского пространства, но фактически это симметричный переход в следующую размерность. А операция умножения -"встреча" в прямоугольной области плоского пространства или несимметричный переход в следующую размерность. При этом следует учесть, что "пространство" в данном случае означает просто систему двух размерностей, которые могут быть и одинаковыми. Это могут быть например длина и ширина с одинаковой размерность, но могут быть длина и масса. Т.е. это фактически не "размерности" пространства, а просто какие-то из его свойств. Такой подход позволяет моделировать фактически любые реальные процессы.
Аналогично, операция деления это "коллективное расставание" из прямоугольной области плоского пространства или несимметричный переход в предыдущую размерность, а операция извлечения корня квадратного -"коллективное расставание" из квадратной области плоского пространства или симметричный переход в предыдущую размерность.
Всё это не так уж сложно понять и представить, но когда Вы это сделаете, то тогда уже не сложно понять вещи, которые значительно сложнее. Например, становится ясно, почему при перемножении двух отрицательных чисел получается число положительное. Становится понятен смысл и такой сложной вещи как комплексных чисел, т.е. чисел основанных на корне квадратном из минус единицы и применяемых очень широко в моделировании сложных процессов.
Обычно для объяснения сути отрицательных чисел приводят в качестве примера обычный термометр, но он не позволяет понять некоторые важные особенности отрицательных чисел. Во-первых, потому что в действительности отрицательные числа на нём условны, так как в реальности нуль на термометре должен соответствовать абсолютному нулю, а во-вторых, потому что термометр представляет собой в какой-то степени одномерное пространство, а в нём отрицательные числа строго говоря вообще не имеют смысла. Лучше представить себе один ряд в кинотеатре, в котором все места, кроме одного заняты. Тогда можно сказать, что каждому занятому месту соответствует +1, а пустому месту соответствует 0. Фактически это тот же термометр, но на нём не может быть отрицательных чисел, поскольку минимальное количество свободных мест не может быть меньше нуля. Отрицательные числа могут реально появиться только в том случае, если мы введём ещё одно измерение - количество проданных билетов. Если проданы все билеты, а одно место свободное, то его состояние в этом уже двухмерном пространстве не 0, а минус единица. Таким образом, там где появляются отрицательные числа, там должно быть как минимум два измерения, хотя на первый взгляд этого можно и не заметить. Для операций с отрицательными числами в двухмерном пространстве необходимо использование матриц.
Теперь представим себе зрительный зал для простоты размером 2х2 мест. Предположим, что в кассу обратились два человека и каждому были проданы по 2 билета - для него и для его друга. Если на сеанс пришли все в полном составе, то математика очень проста 2х2=4. Но она не совсем проста, - дело в том, что первая двойка состоит из двух составляющих, соответствующих двухмерному пространству: продано два билета на эти места и пришли два человека на эти места. Поэтому правильнее было бы записать это в виде произведения матриц (1 1)х(1/1)=2. Вторая двойка тоже представляет собой матрицу (вертикальную) (1/1). Если всё это перемножить, то как раз получится 4. Если первые двое на сеанс не пришли, то им соответствует произведение матриц (1 1)х(-1/-1)=-2. Если их друзья поступили точно также как и они, то это соответствует коэффициенту 1 для каждого, но уже в третьем измерении (приход друзей). И записать это можно опять же как (1/1), где каждая единичка - состояние такое же как и у приглашающего друга. Если перемножить (1 1)х(-1/-1)х(1/1), то получим -4. Если же эти двое не хотели приходить, но их друзья не последовали их примеру, а переубедили их всё-таки пойти, то здесь и получается из двух минусов один плюс. И это выглядит так: (1 1)х(-1/-1)х(-1/-1)=4.
Подытоживая сказанное, можно отметить, что работа с отрицательными числами подразумевает существование ещё одного скрытого измерения и увидеть его можно перейдя на матричную форму записи выражений (кстати, это приводит к появлению некоторого дополнительного смысла, относящегося к знакам плюс-минус - в нашем примере смыслом положительности-отрицательности является желание посетить фильм). Поэтому отнесение нами операций сложение-вычитание отрицательных чисел к линейной математике, строго говоря, не совсем корректно, поскольку в этом случае всегда присутствует второе измерение. Но поскольку это второе измерение при операциях сложения-вычитания может быть проигнорировано, то мы и отнесли поэтому эти операции к линейной математике.
С извлечением корня дело обстоит несколько сложнее. Дело в том, что при этой операции мы переходим в размерность с меньшим числом измерений, а это означает, что часть информации может теряться. В нашем примере двухмерного зрительного зала нам в этом двухмерном измерении в качестве оценки успеха фильма достаточно факта заполняемости зала, т.е. коллективного мнения о фильме. Тот факт, что кто-то может быть и не хотел идти на сеанс, но был уговорён своими друзьями, нас не интересует. Однако, когда мы извлекаем корень квадратный, мы вынуждены из всего квадратного зала выбрать всего один ряд для вручения, например билетов на следующий сеанс. И вот здесь уже не всё просто. В этом уже одномерном измерении нас интересует уже не коллективное мнение, а мнение данного конкретного зрителя. Но того факта, что он оказался в зале,- недостаточно для выяснения его желания посетить данный фильм. Вполне возможно, что он был просто уговорён своей компанией. Возникает неоднозначность, которую мы вынуждены записать как два возможных ответа - со знаком плюс и со знаком минус. И даже если в зале оказался всего один зритель, то в двухмерном пространстве зрительного зала, он будет иметь коллективное мнение, т.е. может быть он не хотел идти на сеанс, но затем сам себя переубедил. Поэтому, когда мы извлекаем корень из единицы, всё равно возникает неоднозначность в виде плюс-минус единицы.
Теперь относительно комплексных чисел. Предположим, что у нас есть тот же зрительный зал, в котором количество рядов соответствует количеству мест в каждом ряду. Но когда мы зайдём в зал для вручения билетов, может так оказаться, что в зрительном зале окажется всего один стул. Тогда будет вручён всего один билет. Но теперь представьте, что в зрительный зал, состоящий всего из одного стула был продан один билет; мы заходим в зал, чтобы вручить зрителю билет на следующий сеанс, но тут оказывается, что зритель на сеанс не пришёл. Данная ситуация будет соответствовать корню из минус единицы. А если точнее, то корню из матрицы (1 -1).
И, наконец, третью область математики можно назвать объёмной (многомерной) математикой. К данной области относятся операции возведения в степень и извлечения корня степенью более двух, логарифмическое и интегральное исчисление, линейная алгебра и т.д.
Принцип здесь остаётся тот же самый - каждая операция приводит к перемещению среди размерностей пространства единиц измерения.
Кстати, насчёт размерности пространства. Теория относительности Эйнштейна считает пространство-время четырёхмерным, т.е. состоящим из трёх пространственных координат и одной временной. Но, на мой взгляд, использование понятия 4-х мерности в данном случае не корректно, поскольку расстояние и время имеют разную размерность. Скорее это конгломерат из трёхмерного пространства и времени. Понятие же 4-х мерного пространства должно предполагать существование четвёртого линейного пространственного измерения. Очень интересен вопрос о возможности существования в принципе четвёртого и больших измерений. То, что человек не может себе его представить ещё ни о чём не говорит. Может быть такой вариант. Человек, в силу особенностей своего восприятия, может осознавать только три измерения. Но если их в действительности четыре, то может быть каким-либо образом человек может поменять восприятие одного из измерений на другое - четвёртое. Тогда человек должен оказаться в параллельном мире - совершенно другом, но не совсем, поскольку два измерения у них общие. В действительности существует возможность записать объёмную информацию на плоскости - голограммы это подтверждают. Очевидно, что такие параллельные миры не могут принципиально отличаться друг от друга, по крайней мере в части пространственного расположения материи, но законы там могут действовать совершенно другие. Так что вполне возможно, что наши души живут в параллельном с нами мире. Кстати существуют развития теорий Эйнштейна до пяти-семи линейных измерений, которые могут объяснить некоторые особенности нашего мира, недоступные классическим теориям Эйнштейна. Такую теорию ещё в 50-х годах прошлого века разработал немецкий учёный Burkhard Heim, а современные физики Walter Dröscher и Jochem Häuser развили её. Если это так, то должно существовать одновременно с нашим миром ещё как минимум от семи до тридцати одного параллельных миров.
Дизайн - Красота отвлекает
|
|